Cho đầu O của một sợi dây đàn hồi dài, căng ngang dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với tần số 2 (Hz). Tại thời điểm t = 0, đầu O bắt đầu đi lên. Tốc độ truyền sóng là 24 (cm/s) và coi biên độ sóng không đổi khi truyền. Gọi P, Q là hai điểm cách O lần lượt 6 (cm) và 9 (cm). Không kể thời điểm t = 0, thời điểm thứ 2019 ba điểm O, P, Q thẳng hàng là

A. 1009,463 (s)

B. 1009,213 (s)

C. 504,713 (s)

D. 504,963 (s)

Hướng dẫn giải

Bước sóng: $\lambda=\frac{v}{f}=12\space\rm (cm)$

Phương trình dao động của phần tử dây tại O, P, Q lần lượt là:

$$u_O=a\cos\left( 4\pi t -\frac{\pi}{2} \right)$$ $$u_P=a\cos\left( 4\pi t - \frac{3\pi}{2} \right)$$ $$u_Q=a\cos\left( 4\pi t \right)$$

Ta xét phương pháp tổng quát đề tìm điều kiện ba điểm 0, P, Q thẳng hàng:

Tọa độ của O:

$$x_O=0;\space y_O=u_O$$

Tọa độ của P:

$$x_P=6\mathrm{(cm)};\space y_P=u_P$$

Tọa độ của Q:

$$x_Q=9\mathrm{(cm)};\space y_Q=u_Q$$

Ba điểm O, P, Q thẳng hàng khi:

$$\overrightarrow{OQ}=\frac{3}{2}\overrightarrow{OP}$$ $$(u_Q-u_O)=\frac{3}{2}(u_P-u_O)$$ $$\Rightarrow u_O-3u_P+2u_Q=0$$ $$\Rightarrow \tan4\pi t=-\frac{1}{2}$$ $$\Rightarrow 4\pi t=\arctan\left(-\frac{1}{2}\right)+k\pi$$ $$\Rightarrow t=\frac{\arctan\left(-\frac{1}{2}\right)}{4\pi}+\frac{k}{4}$$

Chú ý rằng, bắt đầu từ $t=\frac{9}{24}=0,375\space\rm (s)$ thì Q mới bắt đầu dao động nên k = 2,3,4,…

Lần thứ 2019 ứng với k = 2020 nên:

$$t=504,963\space\rm (s)$$

Đáp án: D