Hai vật M và N theo thứ tự dao động điều hòa theo hai phương Ox và Oy vuông góc với nhau, có cùng vị trí cân bằng O. Phương trình dao động của M và N lần lượt là $x_M=A\cos\left(\omega t+\varphi_1\right)$; $y_N=A\sqrt3\cos\left(\omega t +\varphi_2\right)$. Tại thời điểm t₁ vật M có li độ 1 cm. Tại thời điểm $t_2=t_1+\frac{\pi}{2\omega}$ vật N có li độ 2 cm. Biết tại mọi thời điểm ta luôn có mối liên hệ giữa li độ và vận tốc của hai vật là $x_Mv_M+y_Nv_N=0$. Khoảng cách giữa hai vật tại thời điểm t₁ có giá trị gần nhất với giá trị nào sau đây?

A. 3,1 cm

B. 1,2 cm

C. 6,2 cm

D. 2,5 cm

Hướng dẫn giải

Đạo hàm hai vế biểu thức $x_Mv_M+y_Nv_N=0$, được:

$$v_M^2+x_Ma_M+v_N^2+y_Na_N=0$$ $$\left[\omega^2(A_M^2-x_M^2)-\omega^2x_M^2\right] + \left[\omega^2(A_N^2-y_N^2)-\omega^2y_N^2\right]=0$$ $$x_M^2+y_N^2=2A^2$$

Viết lại:

$$t_2=t_1+\frac{\pi}{2\omega}$$

hay:

$$t_2=t_1+\frac{T}{4}$$

Hai thời điểm t₁ và t₂ là hai thời điểm vuông pha nên:

$$y_{1N}^2+y_{2N}^2=A_N^2=3A^2$$ $$\Rightarrow y_{1N}^2+2^2=3A^2\qquad (1)$$

Mà:

$$x_{1M}^2+y_{1N}^2=2A^2$$ $$\Rightarrow 1^2+y_{1N}^2=2A^2\qquad(2)$$

Từ (1) và (2):

$$y_{1N}=\sqrt5\space\rm (cm)$$

Khoảng cách hai vật tại thời điểm t₁:

$$MN=\sqrt{x_{1M}^2+y_{1N}^2}=\sqrt{1^2+5}=\sqrt6\space\rm (cm)$$

Đáp án: D