Đặt điện áp xoay chiều có dạng $u=U\sqrt2\cos\left(2\pi ft\right)$ (V) vào hai đầu đoạn mạch gồm R, L, C mắc nối tiếp với U không đổi, $R=\sqrt\frac{L}{C}$, f thay đổi được. Khi f = f₁ và f = f₂ thì công suất tiêu thụ của đoạn mạch như nhau bằng P₀. Khi f = f₃ thì điện áp hiệu dụng ở hai đầu tụ điện đạt giá trị cực đại và công suất tiêu thụ của mạch lúc này là P. Biết rằng $\frac{f_1+f_2}{f_3}=\frac{9}{2}$. Tỉ số $\frac{P_0}{P}$ bằng

A. 51/3

B. 4/19

C. 19/4

D. 3/51

Hướng dẫn giải

Khi f = f₁ và f = f₂ công suất tiêu thụ của đoạn mạch bằng nhau và bằng P₀:

$$I_1=I_2\rightarrow Z_1=Z_2$$ $$\Rightarrow R^2+\left(Z_{L1}-Z_{C1}\right)^2=R^2+\left(Z_{L2}-Z_{C2}\right)^2$$ $$\Rightarrow Z_{L1}-Z_{C1}=Z_{C2}-Z_{L2}$$

hay:

$$\omega_1 L-\frac{1}{\omega_1 C}=\frac{1}{\omega_2 C}-\omega_2 L$$ $$\Rightarrow \omega_1\omega_2=\frac{1}{LC}\qquad(1)$$

Khi f = f₃ thì điện áp hiệu dụng ở hai đầu tụ điện đạt giá trị cực đại và công suất tiêu thụ của mạch lúc này là P.

$$U_C=IZ_C=\frac{UZ_{C}}{\sqrt{R^2+\left(Z_L-Z_C\right)^2}}$$ $$U_C=\frac{U}{\sqrt{\frac{R^2}{Z_C^2}+\left(\frac{Z_L}{Z_C}-1\right)^2}}$$

Mặt khác:

$$R=\sqrt\frac{L}{C}=\sqrt{Z_L Z_C}$$ $$\Rightarrow R^2=Z_L Z_C$$

nên:

$$U_C=\frac{U}{\sqrt{\left(\frac{Z_L}{Z_C}\right)^2-\frac{Z_L}{Z_C}+1}}$$

Ta thấy $U_C$ max khi:

$$\frac{Z_L}{Z_C}=\frac{1}{2}$$

hay:

$$\omega_3^2 LC=\frac{1}{2}$$ $$\Rightarrow \omega_3^2=\frac{1}{2LC}\qquad(2)$$

Suy ra:

$$\omega_1\omega_2=2\omega_3^2\qquad(3)$$

Từ đề bài:

$$\frac{\omega_1+\omega_2}{\omega_3}=\frac{9}{2}\qquad(4)$$

Xét tổng quát, ta có:

$$P=RI^2=\frac{U^2 R}{R^2+\left(Z_L-Z_C\right)^2}$$ $$P=\frac{U^2 R}{Z_L^2+Z_C^2-Z_L Z_C}=\frac{U^2 R}{\frac{L}{C}\left(\frac{Z_L}{Z_C}+\frac{Z_C}{Z_L}-1\right)}$$

Khi f = f₃:

$$P=\frac{U^2 R}{\frac{L}{C}\left(\frac{1}{2}+2-1\right)}= \frac{U^2 R}{\frac{L}{C}.\frac{3}{2}}$$ $$P_0=\frac{U^2 R}{\frac{L}{C}\left(\omega_1^2 LC+\frac{1}{\omega_1^2 LC}-1\right)}$$ $$P_0=\frac{U^2 R}{\frac{L}{C}\left(\frac{\omega_1}{\omega_2}+\frac{\omega_2}{\omega_1}-1\right)}$$ $$P_0=\frac{U^2 R}{\frac{L}{C}\left[\frac{\left(\omega_1+\omega_2\right)^2}{\omega_1\omega_2}-3\right]}$$

Kết hợp với (3) và (4) tính được:

$$P_0=\frac{u^2 R}{\frac{L}{C}.\frac{57}{8}}$$

Tỷ số:

$$\frac{P_0}{P}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{57}{8}}=\frac{4}{19}$$

Đáp án: B