Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng m = 100 g được treo vào đầu tự do của một lò xo có độ cứng k = 20 N/m. Vật nặng m được đặt trên một giá đỡ nằm ngang M tại vị trí lò xo không biến dạng. Cho giá đỡ M chuyển động nhanh dần đều xuống phía dưới với gia tốc a = 2 m/s². Lấy g = 10 m/s². Ở thời điểm lò xo dài nhất lần đầu tiên, khoảng cách giữa vật m và giá đỡ M gần giá trị nào nhất sau đây?

A. 14 cm

B. 3 cm

C. 5 cm

D. 16 cm

Hướng dẫn giải

Xét khi m còn dính với giá đỡ M. Phương trình định luật II Niu-tơn cho m (chọn chiều dương hướng xuống):

$$mg-N-k\Delta l=ma$$ $$\Rightarrow N=m(g-a)-k\Delta l$$

Thời điểm vật m rời giá đỡ M thì:

$$N=0$$ $$\Rightarrow \Delta l=\frac{m\left(g-a\right)}{k}=0,04\space\rm\mathrm{m}=4\space\mathrm{cm}$$

Độ biến dạng của lò xo tại vị trí cân bằng của vật:

$$\Delta l_0=\frac{mg}{k}=5\space\rm cm$$

Vật m rời giá đỡ tại vị trí có tọa độ $x=-1\space\rm (cm)$.

Khi m rời giá đỡ M, thì m đã đi được quãng đường $s=\Delta l=4\space\rm (cm)$.

Vận tốc của m lúc đó:

$$v=\sqrt{2as}=0,4\space\mathrm{m/s}=40\space\mathrm{cm/s}$$

Khoảng thời gian tương ứng:

$$t_1=\frac{v}{a}=0,2\space\rm (s)$$

Tần số góc dao động:

$$\omega=\sqrt\frac{k}{m}=10\sqrt2\space\rm (rad/s)$$

Biên độ dao động của m sau khi rời M:

$$A=\sqrt{x^2+\frac{v^2}{\omega^2}}=3\space\rm (cm)$$

Khoảng thời gian tiếp theo để lò xo có chiều dài lớn nhất:

$$t_2=\frac{T}{4}+\frac{\arcsin\frac{1}{3}}{2\pi}.T\approx0,135\space\rm (s)$$

Tính từ lúc bắt chuyển động thì m đã đi được quãng đường:

$$s_1=4+1+3=8\space\rm (cm)$$

Tính từ lúc bắt đầu chuyển động thì M đã đi được quãng đường:

$$s_2=\frac{1}{2}a(t_1+t_2)^2\approx0,1122\space\mathrm{m}=11,22\space\mathrm{cm}$$

Khoảng cách giữa M và m:

$$d=s_2-s_1=3,22\space\rm (cm)$$

Đáp án: B