Một lò xo nhẹ có độ cứng 100 N/m, đầu trên được treo vào một điểm cố định, đầu dưới gắn vào vật nhỏ A có khối lượng 250 g; vật A được nối với vật nhỏ B có khối lượng 250 g bằng một sợi dây mềm, mảnh, nhẹ, không dãn và đủ dài. Từ vị trí cân bằng của hệ, kéo vật B thẳng đứng xuống dưới một đoạn 10 cm rồi thả nhẹ để vật B đi lên với vận tốc ban đầu bằng không. Bỏ qua các lực cản, lấy giá trị gia tốc trọng trường g = 10 m/s². Quãng đường đi được của vật A từ khi thả tay cho đến khi vật A dừng lại lần đầu tiên là

A. 22,5 cm

B. 21,6 cm

C. 19,1 cm

D. 20,0 cm

Hướng dẫn giải

Chọn chiều dương hướng xuống:

Xét khi dây còn căng, A và B cùng dao động đi lên. Phương trình định luật II Niu-tơn cho vật B:

$$mg-T=ma$$ $$T=m(g-a)$$

Dây còn căng khi:

$$a\le g=10\space\rm (m/s^2)$$ $$\Rightarrow -\omega^2 x\le 10\space\rm (m/s^2)$$ $$\Rightarrow x\ge -\frac{10}{\omega^2}$$

Với

$$\omega^2=\frac{k}{2m}=\frac{100}{0,5}=200$$

được:

$$x\ge -0,05\space\rm (m)=-5\space\rm (cm)$$

Vậy dây bắt đầu trùng khi x = -5 (cm). Sau đó chuyển động của B là chuyển động của ném lên dưới tác dụng của trọng lực hướng xuống. Chuyển động của A là chuyển động chậm dần vừa dưới tác dụng của trọng lực hướng xuống (bằng trọng lực tác dụng lên B) cộng với tác dụng lực đàn hồi hướng xuống. Do vậy về độ lớn gia tốc, A chuyển động chậm dần với độ lớn gia tốc lớn hơn B. Do vậy dây vẫn trùng sau đó.

Tại x = -5 (cm) vật A có tốc độ:

$$\lvert v \rvert=\omega\sqrt{A^2-x^2}=50\sqrt6\space\rm (cm/s)$$

Khi dây trùng chỉ còn A dao động, vị trí cân bằng là O’ ở trên vị trí cân bằng cũ (O) một đoạn:

$$OO'=\frac{mg}{k}=2,5\space\rm (cm)$$

Tần số góc mới:

$$\omega'=\sqrt\frac{k}{m}=20\space\rm (rad/s)$$

Suy ra tọa độ mới của A đối với O’:

$$x'=-2,5\space\rm (cm)$$

Biên độ mới:

$$A'=\sqrt{x'^2+\frac{v^2}{\omega'^2}}=\frac{5\sqrt7}{2}\space\rm (cm)$$

Quãng đường A đi được:

$$s=12,5+A'=12,5+\frac{5\sqrt7}{2}\approx19,1\space\rm (cm)$$

Đáp án: C