Cho hai vật dao động điều hòa với cùng tần số, trên hai đường thẳng kề nhau, song song với trục Ox, với vị trí cân bằng cùng nằm trên đường thẳng qua O và vuông góc với trục Ox. Biên độ dao động của hai vật lần lượt là 6 (cm) và 8 (cm). Biết rằng li độ của hai vật là x₁ và x₂ thỏa mãn $(x_1\cdot x_2)_{max}=-3(x_1\cdot x_2)_{min}$. Khoảng cách lớn nhất giữa hai vật là

A. 12,17 cm

B. 10 cm

C. 8,74 cm

D. 7,21 cm

Hướng dẫn giải

Giả sử:

$$x_1=6\cos(\omega t + \varphi_1)\space\rm (cm)$$ $$x_2=8\cos(\omega t + \varphi_2)\space\rm (cm)$$

Ta có:

$$x_1\cdot x_2=24\left[ \cos(2\omega t + \varphi_1+\varphi_2) + \cos(\varphi_1-\varphi_2) \right]\space\rm (cm^2)$$

Suy ra:

$$(x_1\cdot x_2)_{max}=24\left[ 1 + \cos(\varphi_1-\varphi_2) \right]$$ $$(x_1\cdot x_2)_{min}=24[-1 + \cos(\varphi_1-\varphi_2)]$$

Theo đề bài:

$$(x_1\cdot x_2)_{max}=-3(x_1\cdot x_2)_{min}$$ $$\Rightarrow \cos\Delta\varphi=\frac{1}{2}$$

Khoảng cách giữa hai vật:

$$d=|x_1-x_2|$$ $$d=\left|6\cos(\omega t + \varphi_1)+8\cos(\omega t + \varphi_2 + \pi)\right|$$ $$d=|Acos(\omega t + \varphi)|$$ $$\Rightarrow d_{max}=A$$

Trong đó:

$$A=\sqrt{6^2+8^2+2\cdot 6 \cdot 8\cos(\Delta \varphi -\pi)}$$ $$A=\sqrt{6^2+8^2-2.6.8\cos\Delta\varphi}\approx 7,21\space\rm (cm)$$

Đáp án: D