Ở mặt nước, tại hai điểm A và B cách nhau 16 (cm) có hai nguồn dao động cùng pha theo phương thẳng đứng, phát ra hai sóng kết hợp có bước sóng 2,5 (cm). M, N, P, Q là bốn điểm trên mặt nước dao động với biên độ cực đại và ngược pha với hai nguồn. Biết tứ giác MNPQ là hình chữ nhật. Diện tích nhỏ nhất của MNPQ là

A. 37,04 cm²

B. 38,05 cm²

C. 35,27 cm²

D. 36,83 cm²

Hướng dẫn giải

Điều kiện đề một điểm trên mặt nước dao động với biên độ cực đại và ngược pha với hai nguồn là nó cách mỗi nguồn một đoạn bằng nửa nguyên bước sóng:

$$d_1=(k_1-0,5)\lambda\quad(k_1=0,1,2,...)$$ $$d_2=(k_2-0,5)\lambda\quad(k_2=0,1,2,...)$$

Vậy những điểm này là giao điểm của những đường tròn đồng tâm có tâm là A và B, bán kính bằng một số nửa nguyên bước sóng, như hình vẽ:

Có rất nhiều cặp 4 điểm tạo nên hình chữ nhật, mọi hình chữ nhật đều có trục là trung trực của AB.

Hình có diện tích nhỏ nhất được đánh dấu trên hình.

Trong 4 điểm M, N, P, Q hai điểm nằm trên vân cực đại số -1, hai điểm nằm trên vân cực đại số 1.

Ta có: $OK=\frac{\lambda}{2}=1,25\space\rm (cm)$

$$AK=OA-OK=6,75\space\rm (cm)=2,7\lambda$$

Đường tròn muốn cắt được hypebol (vân cực đại -1) thì bán kính R, phải thỏa mãn:

$$R>AK=2,7\lambda$$

Điểm M ứng với R nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên:

$$MA=R=3,5\lambda=8,75\space\rm (cm)$$

Suy ra:

$$MB=4,5\lambda=11,25\space\rm (cm)$$

Ta có phương trình:

$$\sqrt{MA^2-MH^2}+\sqrt{MB^2-MH^2}=AB$$

Giải ra được:

$$MH\approx5,9263\space\rm (cm)$$ $$OH\approx1,5625\space\rm (cm)$$

Cuối cùng ta được:

$$S_{MNPQ}=4OH\cdot MH\approx37,04\space\rm (cm^2)$$

Đáp án: A