Cho mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp, cuộn dây thuần cảm. Biết $L=CR^2$. Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp xoay chiều ổn định, mạch có cùng hệ số công suất với hai giá trị của tần số góc là $\omega_1=50\pi\space\rm (rad/s)$ và $\omega_2=200\pi\space\rm (rad/s)$. Hệ số công suất của đoạn mạch khi đó bằng

A. $\frac{3}{\sqrt{12}}$

B. $\frac{1}{\sqrt2}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{2}{\sqrt{13}}$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$$\cos\varphi_1=\cos\varphi_2$$ $$\Rightarrow Z_1=Z_2$$ $$\Rightarrow Z_{1L}-Z_{1C}=Z_{2C}-Z_{2L}$$ $$\Rightarrow \omega_1L-\frac{1}{\omega_1 C}=\frac{1}{\omega_2 C}-\omega_2 L$$ $$\Rightarrow \omega_1\omega_2=\frac{1}{LC}=\omega_{ch}^2$$ $$\Rightarrow \omega_{ch}^2=100\pi\space\mathrm{rad/s}$$

Khi $\omega=\omega_{ch}$ thì đặt $Z_L=Z_C=a$

Khi $\omega=\omega_2=2\omega_{ch}$ thì:

$$Z_L=2a$$

và

$$Z_C=\frac{a}{2}$$

(Do khi L, C không đổi thì $Z_L$ tỉ lệ với $\omega$ còn $Z_C$ tỉ lệ nghịch với $\omega$)

Mặt khác:

$$L=CR^2\rightarrow R^2=Z_LZ_C=a^2\rightarrow R=a$$

Vậy:

$$\cos\varphi_2=\frac{R}{Z_2}=\frac{a}{\sqrt{a^2+\left(2a-\frac{a}{2}\right)^2}}=\frac{2}{\sqrt{13}}$$

Đáp án: D