Một con lắc đơn dao động với biên độ $\alpha_0<\frac{\pi}{2}$, có mốc thế năng được chọn tại vị trí cân bằng của vật nặng. Gọi độ lớn vận tốc của vật nặng khi động năng bằng thế năng là $v_1$, khi độ lớn của lực căng dây treo bằng trọng lực tác dụng lên vật là $v_2$. Tỉ số $\frac{v_1}{v_2}$ có giá trị nào sau đây?

A. $\frac{3}{2}$

B. $\frac{2}{3}$

C. $\sqrt\frac{2}{3}$

D. $\sqrt\frac{3}{2}$

Hướng dẫn giải

Khi động năng bằng thế năng:

$$W_t=\frac{W}{2}$$ $$\Rightarrow mgl(1-\cos\alpha)=\frac{mgl\left(1-\cos\alpha_0\right)}{2}$$ $$\Rightarrow \cos\alpha=\frac{1+\cos\alpha_0}{2}$$ $$\Rightarrow v_1^2=2gl(\cos\alpha-\cos\alpha_0)=gl(1-\cos\alpha_0)$$

Khi độ lớn lực căng dây treo bằng trọng lực:

$$T=mg$$ $$\Rightarrow mg(3\cos\alpha-2\cos\alpha_0)=mg$$ $$\Rightarrow \cos\alpha=\frac{1+2\cos\alpha_0}{3}$$ $$\Rightarrow v_2^2=2gl(\cos\alpha-\cos\alpha_0)=\frac{2gl}{3}(1-\cos\alpha_0)$$

Suy ra:

$$\frac{v_1^2}{v_2^2}=\frac{3}{2}\rightarrow \frac{v_1}{v_2}=\sqrt\frac{3}{2}$$

Đáp án: D