Đặt một điện áp xoay chiều $u=U\sqrt2\cos\omega t\space\rm V$ vào hai đầu mạch điện AB mắc nối tiếp theo thứ tự gồm điện trở R, cuộn dây không thuần cảm (L,r), với R = r và tụ điện C. Gọi N là điểm nằm giữa điện trở R và cuộn dây, M là điểm nằm giữa cuộn dây và tụ điện. Điện áp tức thời $u_{AM}$và $u_{NB}$ vuông pha với nhau và có cùng một giá trị hiệu dụng là $30\sqrt{10}$ V. Giá trị của U là

A. 60 V

B. 120 V

C. $120\sqrt2$ V

D. $60\sqrt2$ V

Hướng dẫn giải

Phương pháp đại số:

Do $u_{AM}$ vuông pha với $u_{NB}$ nên:

$$\varphi_{u_{AM}}-\varphi_{u_{NB}}=\frac{\pi}{2}$$ $$\Rightarrow \tan\varphi_{u_{AM}}.\tan\varphi_{u_{NB}}=-1$$ $$\frac{Z_L}{R+r}.\frac{Z_L-Z_C}{r}=-1$$ $$Z_L\left(Z_L-Z_C\right)=-2R^2$$ $$Z_LZ_C-Z_L^2=2R^2\qquad(1)$$

Do $U_{AM}=U_{NB}=30\sqrt{10}\space\rm V$ nên:

$$(2R)^2+Z_L^2=R^2+\left(Z_L-Z_C\right)^2$$ $$Z_C^2-2Z_LZ_C=3R^2\qquad(2)$$

Từ (1) và (2):

$$3Z_L^2-7Z_LZ_C+2Z_C^2=0$$ $$\Rightarrow \frac{Z_L}{Z_C}=2\space\mathrm{hoặc}\space\frac{Z_L}{Z_C}=\frac{1}{3}$$

Từ (1) ta suy ra: $Z_L < Z_C$ nên lấy:

$$\frac{Z_L}{Z_C}=\frac{1}{3}$$

Cuối cùng ta được:

$$Z_C=3Z_L=3R=3r$$ $$\Rightarrow U_C=3U_L=3U_R=3U_r$$

Do $U_{AM}=30\sqrt{10}\space\rm V$ nên:

$$\sqrt{\left(U_R+U_r\right)^2+U_L^2}=30\sqrt{10}$$ $$4U_R^2+U_R^2=9000\rightarrow U_R=30\sqrt2\space\rm V$$

Điện áp hiệu dụng giữa hai dầu đoạn mạch AB:

$$U=\sqrt{\left(U_R+U_r\right)^2+\left(U_L-U_C\right)^2}=2\sqrt2 U_R=120\space\rm (V)$$

Phương pháp giản đồ véctơ:

Ta có:

$$U_{AM}\cos\alpha=2U_{NB}\sin\alpha$$ $$\Rightarrow \tan\alpha=\frac{1}{2}$$ $$\Rightarrow \cos\alpha=\frac{2}{\sqrt5}; \sin\alpha=\frac{1}{\sqrt5}$$

Từ đó:

$$U_r+U_R=30\sqrt{10}\cos\alpha=60\sqrt2\space\rm V$$ $$\lvert U_{LC}\rvert = Z_C-Z_L=30\sqrt{10}\cos\alpha=60\sqrt2\space\rm V$$

Vậy:

$$U=\sqrt{\left(U_r+U_R\right)^2+\left(Z_{LC}\right)^2}=120\space\rm V$$

Đáp án: B