Hai chất điểm cùng khối lượng, dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox, có phương trình lần lượt là $x_1=A_1\cos(\omega t+\varphi_1)$ và $x_2=A_2\cos(\omega t+\varphi_2)$. Gọi d là khoảng cách lớn nhất giữa hai chất điểm theo phương Ox. Hình dưới là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của d theo A₁ (với $A_2$, $\varphi_1$, $\varphi_2$ là các giá trị xác định).

Chọn gốc thế năng tại vị trí cân bằng. Nếu W₁ là tổng cơ năng của hai chất điểm ở giá trị a₁ và W₂ là tổng cơ năng của hai chất điểm ở giá trị a₂ thì tỉ số W₂/W₁ gần nhất với kết quả nào sau đây?

A. 2,5

B. 2,2

C. 2,4

D. 2,3

Hướng dẫn giải

Khoảng cách giữa hai chất điểm:

$$|x_1-x_2|$$ $$=|A_1\cos(\omega t+\varphi_1)+A_2\cos(\omega t+\varphi_2+\pi)|$$ $$=|A\cos(\omega t +\varphi)|$$ $$A^2=A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\varphi_1-\varphi_2-\pi)$$ $$\Rightarrow d^2=A^2=A_1^2+A_2^2-2A_1A_2\cos(\varphi_1-\varphi_2)$$

Viết lại thành phương trình bậc hai theo A₁:

$$A_1^2-2A_2\cos(\varphi_1-\varphi_2).A_1+(A_2^2-d^2)=0$$

Điều kiện có nghiệm cho kết quả:

$$\Delta'=A_2^2\cos^2(\varphi_1-\varphi_2)-(A_2^2-d^2)\ge 0$$ $$d^2 \ge A_2^2\sin^2\left(\varphi_1-\varphi_2\right)$$

Suy ra:

$$d_{min}=A_2\sin(\varphi_1-\varphi_2)$$

khi:

$$\Delta'=0$$ $$\Rightarrow A_1=-\frac{b}{2a}=A_2\cos(\varphi_1-\varphi_2)=9\space\rm (cm)$$

Theo định lý Viet:

$$a_1+a_2=2A_2\cos(\varphi_1-\varphi_2)=18\space\rm (cm)$$ $$a_1.a_2=A_2^2-d^2=A_2^2-100$$

Khi A₁=0 thì d = 12 cm nên:

$$144=A_2^2\rightarrow A_2=12\space\rm (cm)$$

Do đó được:

$$a_1=9-\sqrt{37}\space\rm (cm)$$ $$a_2=9+\sqrt{37}\space\rm (cm)$$

Vậy:

$$W_1=\frac{1}{2}m\omega^2\left(a_1^2+A_2^2\right)$$ $$W_2=\frac{1}{2}m\omega^2\left(a_2^2+A_2^2\right)$$

Tỉ số:

$$\frac{W_2}{W_1}=\frac{a_2^2+A_2^2}{a_1^2+A_2^2}\approx2,44$$

Đáp án: C